世界的逻辑：不确定性为我们提供了新的思维方式

以古希腊的方式思考世界

自20世纪二三十年代以来，科学界出现了许多新的发现和理论，这些发现和理论挑战了传统的客观实在性观念。我们逐渐认识到，观察和认知过程本身就是主观的，而我们所生活的世界充满了不确定性。这种不确定性不再是认知过程中的一个偶然现象，而是具有自然性。

对传统观念的怀疑促使我们重新审视和定义对世界的理解。20世纪初到现在形成的新科学的核心观点之一是：不确定性构成了人类认知的边界。只有当我们不断探索和理解这种不确定性，并将其转化为相对确定的知识时，我们的认知才能得到扩展。这一过程不仅推动了现代科学的发展，也深化了我们对世界本质的理解。接受并探索这种自然内容的不确定性，是我们拓宽知识视野、增进对世界认识的必经之路。因此，在这本书里，我根据现代科学的观点补充了与古典理性相关的知识，阐述了我所认为的现代科学世界图景的基本特征，并将这些特征追溯到西方哲学思想的最早阶段，以说明它们是历史的偶然产物，而非必然会出现。这是本书详述早期哲学思想的真正目的。

古希腊文明在历史上具有独特地位，它不仅塑造了我们理解世界的方式，还奠定了哲学、科学和艺术的基础。源于古希腊的科学精神中有一种不可或缺的倾向，那就是坚定不移地勇敢面对不明确的事物，并将它们视为进一步探索的动力和路标。抛开这种信念不谈，正如薛定谔在《自然与希腊人》中所写：“古希腊人的哲学至今仍然吸引着我们，因为无论在此之前还是在此之后，世界上其他任何地方都没有建立起像他们那样高度发达的、清晰明确的知识体系和思辨体系。”

几大古代文明展现了一种显著的共性：从兴起到繁荣，大约经历了千年的时间，之后逐渐停滞，最终被新兴的、军事上更强大的文明所取代。例如，古埃及文明从公元前3200年左右开始发展，直至公元前5世纪到公元前4世纪逐渐衰落，最终在公元前332年被马其顿王国征服。类似的情况也出现在古印度、古巴比伦和古代中国等文明中，它们在大约2000年的时间里进入成熟和稳定的阶段，之后发展速度明显放缓，达到了一个饱和点，接下来几乎是原地踏步，发展相对停滞。很多考古学研究发现，这些古代文明晚期的人类的生活水平与工业革命前的人类相当。例如，古埃及人在金字塔建造时期的人均热量摄取已经与后者达到同一水平，包括肉类、蔬菜、面包以及啤酒的消费量；古埃及人的人均寿命、医疗和手术水平也与工业革命前的人类普通状况类似。

古希腊的哲学思想、理性探索和实证方法为后来的科学发展奠定了基础。古希腊的学者们通过观察、实验和逻辑推理，开创了一种全新的认识世界的方法，这种方法在文艺复兴时期得到了发扬，在工业文明的辅助下，最终引发了近代科学革命。这一革命性的变化，标志着人类对自然界的认识和利用达到了一个全新的高度，也为现代科学技术的发展奠定了坚实的基础。从诸多古代文明的发展来看，科学的出现并非必然，而是具有偶然性，这种偶然性最早发生在古希腊。约翰·柏奈特在《早期希腊哲学》的序言中写道：“科学是‘以希腊的方式思考世界’，这是对科学恰如其分的描述。因此可以说，除了那些受到希腊影响的民族，科学从未存在过。”

当我们认真审视古希腊时会发现，我们在中学阶段学习的数学知识，包括平面几何、代数等，以及大部分物理学知识，在古希腊时期就已经为人知晓，并且被写进了著作和教材。当我们谈论地球时，已经默认它是球形的，中国古人说“天圆地方”。那么地球是如何被发现是球形的？人们又是如何证明它是球形的？古希腊人首先观察到金星在不同日子里的明暗变化，并因此推论金星在反射太阳光，因为距离的远近差异，导致它在地球上看起来明暗不同。他们推测月亮也在反射太阳光。当地球运行到太阳和月亮之间，就会挡住太阳光，因此月亮的盈亏是地球的影子造成的。而只有球形物体的影子才能总是圆的，因此他们推断地球肯定是球形的。古希腊人甚至测量了地球的直径，测量结果与实际误差不超过10%。

奥地利哲学家、古典学者特奥多尔·贡珀茨（Theodor Gomperz）在《希腊思想家》中说：“我们几乎全部的智力教育都源于希腊人。要想从他们势不可当的影响中解脱出来，就必须首先彻底认识这些渊源。”古希腊的确是个特殊的存在。古希腊文明不仅塑造了古罗马，而且在罗马文明的框架内孕育了基督教。基督教是为数不多建立在逻辑规则之上的宗教之一，它对逻辑问题的深入探讨为后来的科学发展提供了哲学基础。

与其他文明相比，古希腊文明形成了一套完整的逻辑体系，这使得知识能够稳定地积累和传承。在没有逻辑体系的古代文明中，知识很难有稳定的沉淀。这样的古代文明在发展到一定阶段后，往往会遇到瓶颈。随着文明人口的增长，不同的观点和想法难以达成共识，旧的知识被遗忘又被重复发现，导致知识无法稳定积累。古希腊人发展出的逻辑学让知识得以沉淀和积累。经过一代代人的努力，相对正确的知识被筛选出来并得以积累，为文明的爆发奠定了基础。在古希腊文明之后大约又过了2000年，科学在基督教世界内部爆发，这与基督教继承了古希腊的逻辑学精神，即严格的思维方式，有着密切的联系。这种思维方式为科学方法的发展提供了理论支持，促进了人类对自然界的深入理解和技术的快速进步。

现代科学自古典逻辑而来

在本书中，我将20世纪30年代之前的逻辑学称为古典逻辑，又称经典逻辑。这种逻辑体系建立在确定论的基础之上，强调对清晰思维的信念，并在此框架下构建了传统的认知体系，包括如何获取新知识、如何在知识体系的假设范畴内进行有意义的讨论和证明。

基于古希腊的古典逻辑，人们发展出了数学、物理学等基本领域内的知识，这些知识如今已成为教育的常识。然而，随着近代数学的发展，人们开始深刻反思这种数学确定性的可靠性。例如，算术中看似简单的概念，如1+1=2这样的常识性内容是我们从小就被教条式灌输的。但如果我们深入思考，“1”究竟代表什么含义？如果将“1把椅子”和“1张桌子”相加，结果得到2件家具，但这并不等于“2把椅子”。这里的加法究竟代表什么操作？等号在这一过程中是否有明确的定义？在布尔代数的二进制系统中，1+1=10也是成立的。这种灵活性提示我们，算术的基础和知识体系的构建并非一成不变，有些主观的味道在其中。

在学习微积分时，我们会接触到“无穷大”和“无穷小”的概念。这些概念究竟是什么意思？我们在实际应用中往往不假思索地使用它们。牛顿在建立微积分时，也直接采用了这些概念，尽管他意识到这并非严格的数学证明，只是一种实用工具。这种做法为数学的第二次危机埋下了伏笔。

直到1880年左右，乔治·康托尔认真研究了“无穷大”和“无穷小”的确切含义，才解决了这一问题，但这又引发了数学的第三次危机，甚至导致了后来的数学革命。这些历史事件表明，即使对于最基本的数学概念，也需要经过严格的审视和重新构建，以确保知识体系的稳固和发展。通过这种批判性的反思和逻辑分析，我们能够更深入地理解知识的结构，推动科学的进步。

坊间有说法称“物理学的终点是哲学，哲学的终点是神学”。然而，在过去的100年里，科学界的看法是：哲学在过去的100年里对科学最大的贡献是没有贡献。——你别添乱就好了，100多年前大家已经分了家了，你干你的、我干我的。维特根斯坦又促成两者的彻底分离。在20世纪二三十年代，维特根斯坦“终结”了古典哲学形而上学传统，但同时又启发了新的哲学学派。他深刻地影响了维也纳学派，而维也纳学派制定了科学这个行当的行规，即我们只能研究“有效陈述下的可检验事实”。任何科学陈述必须是符合逻辑规则的陈述，且最好是能用数学方式来表达的陈述。这是我们对所有科学论文陈述方式的基本要求：它是有效陈述。

科学陈述必须构建一个可检验的事实。只有在事实真伪可检验的情况下，一个陈述或一个假设才能成为一个科学可以研究的命题，才能发展成所谓的科学论文。无论你研究哪些内容，一定要遵循这样的行规，并在研究过程中遵循科学规范：怎么给出假设，怎么进行证明，怎么设计实验，怎么得出结论。只有在这个范畴之内的可检验的事实才是科学，不能按照这个规则来进行的都不是科学的命题，也就不需要冠之以科学之名，不需要以“科学”或“不科学”来评价。人们可以提出其他各种想法或观点，但如果不能构建一个可检验的事实，那就不属于科学范畴。从这个角度上讲，在现代科学中，数学偏重工具性，物理学偏重应用和实践。在这样的简单规范下，数学通过理性来构架工具，系统梳理和表达我们脑中的想法，做出有效陈述；物理学则是把这些想法跟自然界进行对接，形成第一道“界面”，并给出可验证的事实。

在大学，老师在培养博士生时会不断训练他们学习本行业的行规，就像铁匠培养徒弟一样。无论学哪门手艺，规矩都是要先学会的。科学也是如此，研究的兴趣和范围可以很广，但有特别明确的行规，这些行规最初是从维也纳学派开始确立的。之前有很多不同的科学家，也有各种不同的流派，但都没有确立科学的行规，直到维也纳学派的创立，科学的行规才最终得以确立。

不确定性为我们提供了新的思维方式

本书会介绍数学的三次危机，这三次危机把我们对知识的态度从对确定性的追求转向了对不确定性的接纳。数学的第一次危机指的是毕达哥拉斯关于无理数的危机。第二次危机源于对“无穷小量”的研究——无穷到底是什么？第三次危机则源于集合论。1900年前后，伯特兰·罗素提出了集合论的基础困难。这个困难至今未被彻底解决。这实际上重塑了我们对数学的认知，甚至让我们对整个理论框架提出了质疑，使我们不得不谨慎思考数学本身是不是一个稳定可靠的工具。这场危机至今仍未结束，对未来认知的影响仍在持续，甚至现在仍在被人激烈地讨论。

20世纪30年代，哥德尔不完备定理将数学的第三次危机推向高潮。这个定理几乎是人类历史上最重要的证明，可以说是人类认知史上最重要的事件。在哥德尔不完备定理的框架下，我们可以探讨如何构建一个理想的制度，因为哥德尔不完备定理告诉我们，任何有限的可描述体系都是有缺陷的。比如，我们是否可以构架一个理想的投票机制？投票这件事从古希腊时代就开始了，经过2000多年的时间，我们是否找到了一个令大家都满意的投票方式呢？事实是，无论怎么做，我们的选举规则必然是有限的，因此无法避免哥德尔不完备定理。1951年，数学家肯尼斯·阿罗证明了阿罗不可能定理。在哥德尔不完备定理的大框架下，这意味着，人们通过有限的规则，是不可能设计出一个能够充分反映民意的、自由的、公平的、无独裁的选举方法的。

艾伦·图灵继承了哥德尔的想法，真正把哥德尔的思想发扬光大并落实。在图灵的许多重要工作中，我们都能看到哥德尔的影子。图灵对现代科技的影响是显而易见的。如今所有计算机，包括量子计算机，都是基于图灵机的原理构建的。图灵机成为人工智能（AI）和所有现代计算机硬件的基础。在1936年发表的那篇知名论文中，图灵阐述了通用计算设备的设计，并指出其核心目的是证明哥德尔不完备定理。为此，他构想了一种能够自动执行计算的机器，即后来广为人知的图灵机。

图灵证明了计算机的指令和数据没有区别，所有的指令序列或物理定律都可以被视为图灵机的数据。冯·诺伊曼利用这一原理建立了现代计算机体系结构，确保了计算机的输出与通用图灵机的结果等效。在这个体系结构中，指令和数据都被视为存储在计算机中的信息，它们之间不存在本质的差异。图灵机的概念构成了现代计算机的基础，无论计算机的形态如何变化，无论是可穿戴设备、智能手机，还是云计算中心，它们都可以被视为等效的图灵机。

在1936年发表的论文中，除了设计了图灵机，奠定了今天人工智能的物理基础，图灵还指出了图灵机的局限性，并证明停机问题的不可判定性，为哥德尔不完全性定理提供了计算理论的对应证明。图灵机的这一特性使得后来的研究者意识到，尽管图灵机非常有用，但它并非万能的。这启发人们开始探索机器和人工智能的局限性，理解它们存在无法完成的任务范围。换句话说，无论知识体系如何，只要它是可计算的，就与人的认知存在不同，人类认知中的一些能力可能超出算法可处理的范畴。这也意味着，可计算性与完全性在本质上是不相容的。

近年来人工智能技术的研究为我们提供了新的思考方式和启发人工智能的兴起，它被证明可能是更为合理的方法论。实际上，使用贝叶斯方法所需的计算和信息理论比经典概率统计方法更为接近人的真实主观认知过程。因此计算机科学在经验性领域的进展也可以作为理论计算机科学的补充。

哥德尔是人类认知发展史上的一位光辉的里程碑式人物，他的思想开启了一个全新的时代。在本书中，我将从哥德尔的工作出发，探讨人工智能、确定性计算、信息理论以及香农熵的概念，并深入讨论混沌理论②所带来的不确定性。通过探讨量子计算，我们将理解量子力学的基本逻辑基础。量子力学向我们展示了一种新的逻辑体系，它不同于20世纪30年代之前的古典逻辑。

哥德尔不完备定理和量子力学所体现的不确定性为我们提供了一种新的思维方式，这种思维方式虽然建立在古典科学的基础上，却代表了一种新的理性。它不同于感性，也不完全等同于传统理性，而是代表了一种全新的逻辑体系。

自20世纪30年代以来，物理学、数学以及混沌理论的发展向我们揭示了世界的不确定性本质。不确定性在许多领域逐渐显现，挑战了传统对确定性的追求，已经成为当今科学研究中最深奥、最迷人、最有前景的论题。它不仅挑战了我们对确定性的传统认知，还推动了我们对计算、信息和逻辑本质的深入理解。

藏传佛教有一种坛城艺术，僧侣们用彩色沙子在地上精心创作作品，这个过程可能耗时数月甚至数年。在画作即将完成之际，僧侣们会将其摧毁，以此象征世间的无常和变迁。古人说“功不唐捐”，而作为清华大学美术学院建院以来唯一聘用的物理学家，我有资格说，科学家也是艺术家。科学本身就是一种行为艺术和精神信仰，科学家在知识的领域中不断构建新的理论框架，就如同建造坛城的创作一样，每一步都极具匠心、庄严肃穆。科学家构建起宏伟的知识体系，预测了许多现象，但在某个时刻，他们可能会推翻这个体系，重新构建一个新的体系。物理学尤其如此，它不断建立和推翻知识体系，不断进行创造性的重生。

艺术家常常认为科学家过于理性，但实际上，科学家在某种程度上是更加感性的：我们辛勤建立起的成果，最终可能会被我们自己推翻。但正是这种不断的自我超越，构成了科学的魅力。科学家通过推翻旧的体系，建立新的体系，即使知道新的体系也可能会被未来的发现所推翻，我们仍然坚持不懈。

理性和感性本就是融汇的、一体的。人类需要理解自己和自然，同时也需要通过表达来沟通思想。沟通的方式多种多样，除了语言和艺术，科学也是一种强有力的表达工具。通过不同的表达方式，我们能够更全面地理解世界，更深刻地体验人类的智慧和创造力。

本文为《世界的逻辑》（马兆远著，湛庐文化｜浙江科学技术出版社2025年9月）一书引言，澎湃新闻经出版方授权发布。